難しく見えるけど好きな数学の問題

1. 無限の格子上（その座標が整数である点のことです）に、５つの点があります。これらの格子点の中から適当な2個を選ぶと、その2点の中点もまた格子点であることを証明しなさい（ 79年京大文系1番）。
    
2. 『平面上の６つの定点のうち任意の３点が作る三角形の重心と残りの３点が作る三角形の重心を通る直線は、３点の選び方にかかわらず一定の点を通ることを示せ』
   　
3. 『自然数５個からなる集合がある。この中から３個取りだし、その和が３の倍数にすることができることを証明せよ。』

この3つの問題の中で一番と3番は親戚のような問題である。3番は誰がみても予想できるように、結果を導くのに特別の知識が必要な問題ではない。それでも予見無く３番を解くのはかなり困難である・・・かもしれない。

この問題自力で解けたら、かなり自信がつくのではないかと思う。 数学の幅が随分広がると思われる。そういう意味では良問である。

姪や甥が今年は大学受験であるが、なかなかこんな問題解いてみろよ、とはいえない。解けるようになって欲しいがね。